TARSKI (A.)

TARSKI (A.)

Né à Varsovie, Alfred Tarski, qui fut, avant la Seconde Guerre mondiale, un des maîtres de l’école polonaise de logique, devait s’imposer comme un des plus grands logiciens contemporains, par ses travaux sur la métamathématique et sur la sémantique notamment, et par son enseignement à l’université de Californie, à Berkeley, qui devint, sous sa direction, un haut lieu de l’étude de la logique.

La métamathématique

Après des études de mathématiques à l’université de Varsovie, sa ville natale, Alfred Tarski avait obtenu le doctorat avec une thèse Sur le terme primitif de la logistique (publiée en 1924) et devint, avec face="EU Caron" ゲukasiewicz, Le ごniewski et Kotarbi ski, l’un des chefs de file de l’école polonaise de logique. En 1939, il émigre et enseigne à l’université de Californie à Berkeley.

Il s’est occupé de la théorie des ensembles et de la logique mathématique, tout particulièrement de la métamathématique et de la sémantique (théorie des modèles). Parmi ses contributions les plus importantes à la mathématique pure, il faut citer sa théorie des cardinaux inaccessibles (1938; 1964) et son célèbre théorème (dit théorème de Banach-Tarski) sur la décomposition de la sphère (1924) : on peut décomposer deux sphères inégales en parties qui sont congruentes deux à deux (il est cependant impossible de définir une mesure pour ces parties).

Avec Hilbert, Tarski est l’un des fondateurs de la métamathématique , qu’il définit comme méthodologie des sciences déductives. Depuis ses premiers travaux, il opère avec des systèmes formels qui sont des ensembles de «propositions douées de sens» (c’est-à-dire de formules bien formées) et sur lesquels est définie une fonction «conséquence» caractérisée par un certain nombre d’axiomes. En examinant ces systèmes formels, Tarski leur attribue plusieurs propriétés fondamentales – principalement la consistance, la complétude et l’indépendance – et il applique les résultats de ses recherches abstraites au calcul propositionnel.

Le concept de vérité

À partir du début des années trente, Tarski prit conscience du caractère étroit des méthodes syntaxiques qu’il avait suivies jusqu’alors, et il s’efforça de mettre au point des concepts sémantiques correspondant plus fidèlement aux notions utilisées dans le langage ordinaire – principalement le concept de vérité et celui de conséquence logique. Le premier est analysé dans sa célèbre étude sur Le Concept de vérité dans les langages formalisés (traduite en allemand en 1935-1936 sous le titre de Wahrheitsbegriff ). Ce mémoire, qui fut présenté par face="EU Caron" ゲukasiewicz devant la Société des lettres et des sciences de Varsovie en 1931, avait pour objectif de comprendre les intuitions exprimées par la conception dite classique de la vérité (théorie de la vérité-correspondance) et de «construire une définition de l’expression énoncé vrai , définition qui soit matériellement adéquate et formellement correcte».

Distinguant les langages essentiellement selon l’ordre de catégorie de variables qu’ils possèdent, Tarski aboutit aux conclusions suivantes: «A. Nous savons construire en métalangage, pour chaque langage formalisé d’ordre fini, une définition [...] de la notion d’énoncé vrai. B. Il n’est pas possible de construire une telle définition pour les langages formalisés d’ordre infini. C. Pourtant, même par rapport à ces langages, on peut utiliser d’une manière conséquente et correcte le concept de vérité en l’introduisant dans l’ensemble des concepts primitifs du métalangage et en déterminant ses propriétés fondamentales au moyen de la méthode axiomatique.» Le mémoire de 1931 s’en tenait aux langages formalisés dont la structure s’accorde avec la théorie des catégories sémantiques, mais le Post-scriptum de la version allemande devait en adapter les conclusions au cas de langages formalisés pour lesquels les principes de la théorie des catégories sémantiques ne seraient plus valables.

De la «définissabilité» aux modèles et à la décision

Après le concept de vérité, Tarski a précisé un autre concept sémantique essentiel, celui de conséquence logique, qui avait été défini pour la première fois par Bolzano, en 1837, pour la langue usuelle. Pour Tarski, en effet, l’«énoncé X suit logiquement des énoncés de la classe K si et seulement si tout modèle de la classe K est aussi un modèle de l’énoncé X».

Tarski a apporté des renouvellements décisifs dans d’autres domaines de la logique mathématique, et d’abord avec la théorie de la définissabilité , qui revêt deux aspects : d’une part, la théorie syntaxique, qui donne une définition rigoureuse de cette notion et généralise la méthode de Padoa pour l’examen de la dépendance et de l’indépendance des concepts; d’autre part, la théorie sémantique, liée au problème de la hiérarchie des ensembles et aussi au théorème de l’incomplétude de Gödel. Signalons ensuite les recherches de Tarski sur la théorie générale des modèles , fondée aussi bien sur la logique du premier ordre que sur certaines des généralisations du premier ordre (calcul propositionnel qui admet des formules infiniment longues; calcul du second ordre opérant sur des ensembles finis). Dans plusieurs travaux, Tarski a étudié la complétude des théories et le problème de la décision ; il a établi la décidabilité et l’indécidabilité de certaines théories mathématiques (en particulier, il a montré que l’algèbre et la géométrie élémentaires sont des théories décidables).

Tarski a toujours accepté sans restriction, comme base de son travail logico-mathématique, la théorie des ensembles et il n’hésitait pas à recourir à des théories très fortes – ce qui lui a donné une liberté que s’interdisaient aussi bien Brouwer et les intuitionnistes que l’école de la métamathématique finitiste (Hilbert). C’est sans doute grâce à cette liberté qu’il a pu développer sa méthode sémantique et relier, dans ses travaux, la théorie des ensembles, la logique, l’algèbre et la topologie.

Encyclopédie Universelle. 2012.